A Teoria das probabilidades é o estudo matemático das probabilidades. Pierre Simon Laplace é considerado o fundador da teoria das probabilidades.
Os teoremas de base das probabilidades podem ser demonstrados a partir dos axiomas das probabilidades e da teoria de conjuntos.
Os teoremas seguintes supõem que o universo Ω é um conjunto finito, o que nem sempre é o caso, como por exemplo no caso do estudo de uma variável aleatória que segue uma distribuição normal.
- A soma das probabilidades de todos os eventos elementares é igual a 1.
- Para todos os eventos arbitrários A1 e A2, a probabilidade de os eventos se realizarem simultaneamente é dada pela soma das probabilidades de todos os eventos elementares incluídos tanto em A1 como em A2. Se a intersecção é vazia, então a probabilidade é igual a zero.
- Para todos os eventos arbitrários A1 e A2, a probabilidade de que um ou outro evento se realize é dada pela soma das probabilidades de todos os eventos elementares incluídos em A1 ou A2.
As fórmulas seguintes exprimem matematicamente as propriedades acima:
![P\left[A_1 \cap A_2 \right] = \sum_{\omega\in A_1\cap A_2}P\left(\left\{\omega\right\}\right)](http://upload.wikimedia.org/math/0/4/6/046e34825dcbc421d685017859ee8d3d.png)
![P\left[A_1 \cup A_2 \right] = \sum_{\omega\in A_1\cup A_2}P\left(\left\{\omega\right\}\right)](http://upload.wikimedia.org/math/d/9/7/d97fd8469e31c3da6fda1e6483f769bb.png)
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